Wie wahrscheinlich sind genau drei Treffer bei fünf Würfen oder mindestens ein fehlerhaftes Produkt in zehn Kontrollen? Ich zeige, wie die Bernoulli-Formel solche Aufgaben löst, welche Bedingungen gelten und wie du die Rechnung Schritt für Schritt mit und ohne Taschenrechner prüfst.
Mit diesen Regeln gelingt jede Bernoulli-Rechnung
- Formel: P(X = k) = „n über k“ · pk · (1 − p)n − k
- Voraussetzungen: Es gibt genau zwei Ergebnisse, die Versuche sind unabhängig und p bleibt gleich.
- k: Gesucht ist die Anzahl der Erfolge innerhalb von n Versuchen.
- „Mindestens“: Oft ist die Gegenwahrscheinlichkeit der schnellste Rechenweg.
- Typischer Fehler: „Genau drei“ und „mindestens drei“ verlangen unterschiedliche Rechnungen.
Was die Bernoulli-Formel eigentlich berechnet
Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsversuch mit genau zwei möglichen Ausgängen. Beim Münzwurf kann das Kopf oder Zahl sein, bei einer Qualitätskontrolle fehlerhaft oder fehlerfrei. Welches Ergebnis als Erfolg bezeichnet wird, legst du selbst fest.
Wird ein solches Experiment mehrmals unter gleichen Bedingungen wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette. Die Formel berechnet die Wahrscheinlichkeit, in n Versuchen genau k Erfolge zu erhalten:
P(X = k) = „n über k“ · pk · (1 − p)n − k
| Zeichen | Bedeutung |
|---|---|
| n | Anzahl der Wiederholungen |
| k | Gesuchte Anzahl der Erfolge |
| p | Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg |
| 1 − p | Wahrscheinlichkeit für einen Misserfolg |
| „n über k“ | Anzahl der möglichen Anordnungen der k Erfolge |
Der Ausdruck „n über k“ heißt Binomialkoeffizient. Er zählt, an welchen Stellen die Erfolge in der Kette vorkommen können. Genau dieser Faktor wird oft vergessen, obwohl zum Beispiel drei Erfolge bei fünf Versuchen auf mehreren unterschiedlichen Wegen auftreten können.
Diese drei Bedingungen müssen erfüllt sein
Die Rechnung sieht einfach aus, funktioniert aber nur, wenn das zugrunde liegende Zufallsmodell passt. Ich prüfe vor jeder Rechnung drei Punkte, weil sich hier die meisten Fehler verstecken.
- Zwei Ergebnisse: Jeder Versuch endet mit Erfolg oder Misserfolg.
- Gleiche Erfolgswahrscheinlichkeit: Der Wert p bleibt bei jedem Versuch konstant.
- Unabhängigkeit: Das Ergebnis eines Versuchs beeinflusst die folgenden Versuche nicht.
Beim wiederholten Werfen einer fairen Münze sind diese Bedingungen normalerweise erfüllt. Ziehst du dagegen Karten ohne Zurücklegen, verändert sich die Wahrscheinlichkeit nach jeder Ziehung. Dann ist die einfache Bernoulli-Formel in der Regel nicht das passende Modell.
Auch bei einer Schützenaufgabe kann die Unabhängigkeit fraglich sein, wenn die Person ermüdet oder sich die Trefferwahrscheinlichkeit dadurch verändert. In Schulaufgaben wird meist ausdrücklich angenommen, dass p konstant bleibt. In realen Situationen solltest du diese Annahme trotzdem kurz hinterfragen.
So setzt du die Formel Schritt für Schritt ein
Ich gehe bei jeder Aufgabe in derselben Reihenfolge vor. Das verhindert, dass Zahlen zu früh in die Formel eingesetzt werden und am Ende unklar bleibt, wofür sie überhaupt stehen.
- Erfolg festlegen: Bestimme, welches Ergebnis gezählt wird.
- n und k ablesen: n ist die Gesamtzahl der Versuche, k die gewünschte Trefferzahl.
- p bestimmen: Schreibe die Erfolgswahrscheinlichkeit als Dezimalzahl oder Bruch.
- Gegenwahrscheinlichkeit berechnen: Verwende q = 1 − p für einen Misserfolg.
- Binomialkoeffizienten einsetzen: Berechne „n über k“, zum Beispiel mit nCr auf dem Taschenrechner.
- Ergebnis prüfen: Eine Wahrscheinlichkeit muss zwischen 0 und 1 liegen oder als Prozentwert zwischen 0 % und 100 %.
Der Binomialkoeffizient lässt sich auch mit Fakultäten schreiben: „n über k“ = n! ÷ (k! · (n − k)!). Das Ausrufezeichen bezeichnet die Fakultät, also zum Beispiel 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
Für größere Zahlen ist die nCr-Taste des Taschenrechners deutlich praktischer. Ich gebe trotzdem gern zuerst die Struktur der Rechnung an, weil ein korrektes Taschenrechnerergebnis nichts nützt, wenn n, k oder p falsch zugeordnet wurden.
Zwei Beispiele mit vollständigem Rechenweg
Drei Treffer beim fünfmaligen Münzwurf
Eine faire Münze wird fünfmal geworfen. Als Erfolg gilt Kopf. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei Treffer.
Hier gilt n = 5, k = 3 und p = 0,5. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt ebenfalls 0,5:
P(X = 3) = „5 über 3“ · 0,53 · 0,52
Der Binomialkoeffizient ist „5 über 3“ = 10. Damit ergibt sich:
P(X = 3) = 10 · 0,125 · 0,25 = 0,3125 = 31,25 %
Das Ergebnis bedeutet nicht, dass bei jeder Fünfergruppe ungefähr drei Köpfe fallen. Es sagt nur, dass eine konkrete Fünfergruppe mit genau drei Köpfen langfristig in etwa 31 von 100 Fällen zu erwarten ist.
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Genau ein fehlerhaftes Produkt
Eine Produktionslinie liefert mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von 2 %. Zehn Produkte werden unabhängig voneinander geprüft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau ein Produkt fehlerhaft ist?
Nun sind n = 10, k = 1 und p = 0,02. Für ein fehlerfreies Produkt gilt q = 1 − 0,02 = 0,98:
P(X = 1) = „10 über 1“ · 0,021 · 0,989
Da „10 über 1“ = 10 ist, folgt näherungsweise:
P(X = 1) ≈ 10 · 0,02 · 0,8337 = 0,1667 = 16,67 %
Der einzelne Fehler ist selten, aber zehn Prüfungen bieten auch zehn mögliche Positionen für diesen Fehler. Der Faktor „10 über 1“ macht genau diesen Unterschied sichtbar.
„Genau“, „mindestens“ und „höchstens“ richtig unterscheiden
Die Formulierung der Aufgabe entscheidet darüber, welche Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen. Genau k bedeutet nur P(X = k), während „mindestens“ und „höchstens“ mehrere Fälle umfassen.
| Aufgabenformulierung | Gesuchte Wahrscheinlichkeit | Rechenweg |
|---|---|---|
| Genau 3 Erfolge | P(X = 3) | Ein einzelner Formelwert |
| Mindestens 3 Erfolge | P(X ≥ 3) | P(X = 3) + P(X = 4) + ... + P(X = n) |
| Höchstens 3 Erfolge | P(X ≤ 3) | P(X = 0) + P(X = 1) + ... + P(X = 3) |
| Weniger als 3 Erfolge | P(X < 3) | P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) |
Bei „mindestens ein Erfolg“ ist die Gegenwahrscheinlichkeit besonders effizient. Bei zehn Produkten mit Fehlerwahrscheinlichkeit 2 % rechnest du nicht alle Fälle von einem bis zehn Fehlern einzeln aus, sondern:
P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − 0,9810 ≈ 0,1829 = 18,29 %
Diese Methode ist für mich der wichtigste praktische Kniff. Sobald die Aufgabe „mindestens einmal“ oder „mindestens ein Treffer“ enthält, prüfe ich zuerst, ob der Gegenfall kein einziger Erfolg leichter zu berechnen ist.
Typische Fehler bei der Anwendung
Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung von p und 1 − p. Wenn ein Treffer eine Wahrscheinlichkeit von 0,2 hat, beträgt die Wahrscheinlichkeit für keinen Treffer 0,8, nicht ebenfalls 0,2.
Ebenso problematisch ist eine falsche Bedeutung von k. Bei „genau vier Misserfolge“ darfst du nicht automatisch k = 4 verwenden, wenn p die Erfolgswahrscheinlichkeit bezeichnet. Du kannst entweder den Misserfolg als Erfolg neu definieren oder mit k = n − 4 für die Erfolge rechnen.
- „Genau“ nicht mit „mindestens“ verwechseln: Genau drei Fälle enthalten nur X = 3.
- Binomialkoeffizienten nicht vergessen: Ohne ihn wird nur ein einziger Ablauf betrachtet.
- Prozentwerte umwandeln: 5 % werden als p = 0,05 eingesetzt.
- Ohne Zurücklegen prüfen: Eine wechselnde Wahrscheinlichkeit passt meist nicht zur Bernoulli-Kette.
- Rundung erst am Ende: Zwischenergebnisse möglichst nicht früh auf zwei Dezimalstellen kürzen.
Manchmal ist nicht die Formel das Problem, sondern die Modellierung. Wenn sich die Versuche beeinflussen, mehrere verschiedene Ergebnisse relevant sind oder sich p verändert, brauchst du möglicherweise ein anderes Verfahren als die Binomialverteilung.
Der sichere Kontrollblick vor dem Ergebnis
Bevor ich eine Lösung abgebe, prüfe ich vier Dinge. Die Zahl n muss die Gesamtzahl der Versuche sein, k muss zur Formulierung passen, p muss zwischen 0 und 1 liegen und die Summe aller möglichen Einzelwahrscheinlichkeiten darf nicht größer als 1 sein.
Merke dir vor allem diese Kurzformel: Anzahl der Anordnungen · Wahrscheinlichkeit der Erfolge · Wahrscheinlichkeit der Misserfolge. Wenn du zusätzlich die Wörter „genau“, „mindestens“ und „höchstens“ sauber unterscheidest, hast du die zentrale Idee der Bernoulli-Formel sicher im Griff.
